New PDF release: Algebra I

By Walter Gubler

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Seien g1 , . . , gr ∈ R. Aus Aufgabe 18 folgt sofort, dass g1 , . . , gr := Rg1 +Rg2 +. +Rgr das kleinste kleinste Ideal in R ist, das g1 , . . , gr enth¨alt. 2. Die Elemente g1 , . . , gr heißen Erzeugende des Ideals I, falls I = g1 , . . , gr gilt. 3. erzeugt. (i) I R Hauptideal :⇐⇒ I wird von einem Element (ii) R heißt Hauptidealbereich :⇐⇒ jedes Ideal ist Hauptideal und R ist ein Integrit¨ atsbereich. 4. 4). 5. Seien g, g ∈ R. Dann gilt: (i) g ⊆ g ⇐⇒ g | g (ii) g = g ⇐⇒ g ∈ R∗ g , falls R ein Integrit¨ atsbereich ist.

F¨ ur Ringe R1 , R2 , . . , Rr definieren wir auf R1 × . . × Rr eine Ringstruktur durch: (a1 , . . , ar ) + (b1 , . . , br ) := (a1 + b1 , . . , ar + br ) und (a1 , . . , ar ) · (b1 , . . , br ) := (a1 · b1 , . . , ar · br ) Wenn r ≥ 2 ist, dann kann R1 × . . × Rr kein Integrit¨atsbereich sein wegen den Nullteilern (0, . . 0, ai , 0, . . 0). F¨ ur beliebige Familien (Ri )i∈I von Ringen k¨onnen wir Ri analog zu i∈I einem Ring machen. 2 Ideale und Restklassenringe In diesem Abschnitt sei R ein kommutativer Ring.

X + 1 ist irreduzibel in Q[x] f¨ ur jede Primzahl p. Beweisidee: Kriterium von Eisenstein f¨ ur f (x + 1), siehe ¨ Ubung 35. 12. h. K ist der Quotientenk¨orper von k[t]. Dann ist xn − t irreduzibel in K[x] f¨ ur jedes n ∈ N \ {0}. Beweisidee: R := k[t] ist faktoriell und t ist irreduzibel in R, dann das Kriterium von Eisenstein anwenden. 1 Grundlagen In diesem Abschnitt sei K ein K¨ orper. 1. h. es gibt eine Faktorisierung in irreduzible Faktoren in K[x] und die Faktorisierung ist bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten eindeutig.

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Algebra I by Walter Gubler


by Ronald
4.3

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